Harmonische ligging

Van vier verschillende punten ${\displaystyle A,B,S}$ en ${\displaystyle T}$ die op één lijn liggen, zegt men dat de paren ${\displaystyle (A,B)}$ en ${\displaystyle (S,T)}$ harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}}$

Daarin staat ${\displaystyle |AB|}$ voor de lengte van het lijnstuk ${\displaystyle AB}$.

De punten ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle T}$ worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar ${\displaystyle (A,B)}$ genoemd. Ook wel: de punten ${\displaystyle A,B}$ scheiden de punten ${\displaystyle S,T}$ harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding ${\displaystyle (A,B;S,T)}$ van de punten gelijk is aan ${\displaystyle -1}$.^[1]

1. ↑ Bij de berekening van de dubbelverhouding worden gerichte lijnstukken gebruikt. De lengte van een lijnstuk wordt dan berekend uit de abscissen van de eindpunten in een op de lijn vastgelegd coördinatenstelsel. Zo is dan ${\displaystyle AB=-BA}$.